Математики Калифорнийского технологического института решают числовую загадку XIX века и наконец доказывают «гипотезу Паттерсона»
Математики Калифорнийского технологического института доказали гипотезу Паттерсона

Математики Калифорнийского технологического института Алекс Данн и Максим Радзивилл наконец доказали загадочную особенность чисел, на которую впервые наткнулся немецкий математик Эрнст Куммер. Кредит: Калифорнийский технологический институт

Математики Калифорнийского технологического института Алекс Данн и Максим Радзивилл наконец доказали «гипотезу Паттерсона».

Загадочная особенность чисел, впервые обнаруженная немецким математиком Эрнстом Куммером, ставила исследователей в тупик последние 175 лет. В какой-то момент в 1950-х годах считалось, что эта причудливая особенность теории чисел ошибочна, но затем, десятилетия спустя, математики обнаружили намеки на то, что она на самом деле верна. Теперь, после нескольких поворотов, два математика из Калифорнийского технологического института, наконец, нашли доказательство того, что Куммер был прав с самого начала.

«У нас было несколько моментов «ага», но потом вы должны засучить рукава и понять это», — объясняет Александр (Алекс) Данн, постдок Калифорнийского технологического института и преподаватель математики Ольги Таусской и Джона Тодда, написавший доказательство. со своим научным руководителем, профессором математики Максимом Радзивиллом, и разместил его в Интернете в сентябре 2021 года.

Математическая задача связана с суммами Гаусса, названными в честь плодовитого математика 18-го века Карла Фридриха Гаусса. Когда Гаусс был молод, он поразил своих одноклассников, быстро разработав формулу сложения чисел от 1 до 100. Позже Гаусс разработал сложную концепцию, известную как суммы Гаусса, которые легко отображают распределение решений уравнений. Он посмотрел на распределение так называемых квадратных сумм Гаусса для нетривиальных простых чисел (простых чисел, которые дают в остатке 1 при делении на 3) и нашел «красивую структуру», по словам Радзивилла.

Максим Радзивилл

Максим Радзивилл, профессор математики. Кредит: Калифорнийский технологический институт

Это суммирующее действие включает в себя тип математики, известный как модульная арифметика. Простой способ понять модульную арифметику — представить себе часы и их циферблат, разделенный на 12 часов. Когда наступает полдень или полночь, числа сбрасываются и возвращаются к 1. Эта система «по модулю 12» упрощает хронометраж, поскольку нам не нужно вечно считать часы.

В случае сумм Гаусса используется та же идея, но базовый «циферблат» делится на p часов, где p — простое число. «Математика по модулю p — это способ убрать информацию и упростить невероятно сложные уравнения», — говорит Радзивилл.

В 19 веке Куммер интересовался распределением кубических сумм Гаусса для нетривиальных простых чисел или в системе по модулю p. Он проделал это вручную для первых 45 нетривиальных простых чисел и нанес ответы один за другим на числовую прямую (для этого ему пришлось сначала нормализовать ответы, чтобы они находились между -1 и 1). Результат был неожиданным: решения не были случайными, а имели тенденцию группироваться к положительному концу линии.

«Имея дело с распределением природных объектов в теории чисел, наивное ожидание состоит в том, что у каждого есть одинаковое распределение, а если нет, то должна быть очень убедительная причина», — говорит Данн. «Вот почему было так шокирующе, что Куммер заявил, что это не относится к кубам».

Алекс Данн

Алекс Данн, постдокторант и преподаватель математики Ольги Таусской и Джона Тодда. Кредит: Калифорнийский технологический институт

Позже, в 1950-х годах, исследователи под руководством покойной Хедвиг Сельберг из Института перспективных исследований использовали компьютер для вычисления кубических сумм Гаусса для всех нетривиальных простых чисел, меньших 10 000 (около 500 простых чисел). Когда решения были нанесены на числовую прямую, смещение, замеченное Куммером, исчезло. Распределение решений казалось случайным.

Затем появился математик Сэмюэл Паттерсон, который в 1978 году предложил решение этой путаницы, теперь называемое гипотезой Паттерсона. Паттерсон, который в то время был аспирантом Кембриджского университета, понял, что систематическая ошибка в распределении решений может быть преодолена по мере того, как размер выборки становится все больше и больше. Это означало, что Куммер был прав — что-то смешное происходило с его суммами для 45 простых чисел. Но чтобы доказать, почему это так, придется подождать до прошлого года, когда Данн и Радзивилл, наконец, поняли это.

«Предвзятость, наблюдаемая с несколькими числами, похожа на физически невозможную монету, которая слегка смещается в сторону орла, но становится все меньше и меньше, поэтому чем чаще вы ее подбрасываете», — объясняет Радзивилл.

Два исследователя из Калифорнийского технологического института решили работать вместе, чтобы попытаться решить проблему гипотезы Паттерсона около двух лет назад. Они не проводили вместе много времени в кампусе из-за пандемии, но столкнулись на парковке в Пасадене и разговорились. Они решили встречаться в парках, чтобы поработать над проблемой, где они записывали свои математические доказательства на листах бумаги.

«Я только что пришел в Калифорнийский технологический институт и мало кого знал, — говорит Данн. «Так что было действительно здорово встретиться с Максом и иметь возможность лично поработать над проблемой вместе».

Их решение было основано на работе Роджера Хита-Брауна из Оксфордского университета , который видел выступление Паттерсона в Кембриджском университете в конце 1970-х годов. Хит-Браун и Паттерсон объединились для работы над проблемой, а затем, в 2000 году, Хит-Браун разработал инструмент, известный как большое кубическое решето, чтобы помочь доказать гипотезу Паттерсона. Он приблизился, но полное решение осталось недосягаемым.

Данн и Радзивилл решили проблему, когда поняли, что сито работает неправильно или имеет «барьер», который они смогли убрать.

«Мы смогли пересмотреть наш подход. В математике вы можете попасть в ловушку определенного образа мыслей, и мы смогли избежать этого», — говорит Данн. «Помню, когда у меня был один из моментов «ага», я был так взволнован, что побежал искать Макса у «Красной двери» [кафе в Калифорнийском технологическом институте] и попросил его зайти в мой офис. Затем мы начали тяжелую работу по выяснению всего этого».

Ссылка: «Смещение в кубических суммах Гаусса: гипотеза Паттерсона» Александра Данна и Максима Радзивилла, 15 сентября 2022 г., Математика > Теория чисел .
архив: 2109.07463

Калифорнийский технологический институт
Дата публикации: 2022.11.26